人教高中数学课时跟踪检测（五十） 全析高考常考的6大题型 作业.doc

课时跟踪检测（五十） 全析高考常考的6大题型
1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.
(1)求p的值；
(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．
解：(1)由题意知，抛物线焦点为，
准线方程为：y＝－.
焦点到准线的距离为2，即p＝2.
(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝x2，所以y′＝x，
设A，B，
则l1：y－＝，l2：y－＝.
由于l1⊥l2，所以·＝－1，即x1x2＝－4，
设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得
所以x2－4kx－4m＝0，
Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，
所以m＝1，
即l：y＝kx＋1，
联立方程得即M.
M点到直线l的距离d＝＝，
|AB|＝＝4，
所以S＝×4×＝4≥4，
当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.
2．(2020·浙江高考)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．
(1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标；
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
解：(1)由p＝得C2的焦点坐标是.
(2)由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，
点A(x0，y0)．
将直线l的方程代入椭圆C1：＋y2＝1，消去x，
得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
所以点M的纵坐标yM＝－.
将直线l的方程代入抛物线C2：y2＝2px，消去x，
得y2－2pmy－2pt＝0，
所以y0yM＝－2pt，解得y0＝，
因此x0＝.
由＋y＝1，得＝42＋24≥160，
所以当m＝，t＝时，p取到最大值.
3．过点M(2,0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB.
(1)求p的值；
(2)若l与坐标轴不平行，且A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点．
解：(1)当直线l⊥x轴时，可得A(2,2)，B(2，－2)，
由AO⊥BO得4－4p＝0，可得p＝1，
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)，代入y2＝2px得ky2－2py－4pk＝0(k≠0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1y2＝－4p，x1x2＝＝4，
由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即4－4p＝0，可得p＝1，
综上所述，p＝1.
(2)证明：由(1)知抛物线方程为y2＝2x，
由于A，D关于x轴对称，故D的坐标为(x1，－y1)，
所以直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)＝
，即2x＋(y1－y2)y－y1y2＝0，
又y1y2＝－4p＝－4，所以2x＋(y1－y2)y＋4＝0，
可得直线BD恒过点(－2,0)．
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与y2＝8x的焦点重合且点A(2，)为椭圆上一点．
(1)求椭圆方程；
(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x＝2对称的直线，与椭