人教高中数学第33讲 数列的概念与等差数列（解析版）.docx

第33讲 数列的概念与等差数列
【基础知识全通关】
一：数列的概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。
【微点拨】
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
二：数列的表示
(1)列举法：如-2，-5，-8，…
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式a=f(n)，n∈N*。
(4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如an=an-1+an-2(n≥3)，且a1=1，a2=1.
【微点拨】
①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。
②数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
③利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
三：数列的分类
（1）按项数：有限数列和无限数列
（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)
四：数列的通项公式与前项和公式
如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
任意数列的前n项和，于是，
所以有：
【微点拨】
由前n项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求；
（2）求出当n≥2时的；
（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
五、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
【微点拨】
(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数）
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为
(3)证数列{}是等差数列的方法：
① (n≥2) （ d为常数）；
② 为和的等差中项。
六、通项公式
(归纳法和迭加法)
【微点拨】
①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)
②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。
④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，
当k=d>0时，{}为递增数列；
当k=d<0时，{}为递减数列；
当k=d=0时，{}为常数列。
七、通项公式的性质：
（1）等差中项：、、成等差数列，则；
（2）通项公式的推广：
（3）若，则；
特别，若，则
等差数列中，
若.
【考点研****一点通】
考点一：依据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
(1) 0, ,,,…；
(2) 1, ,,,…；
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
【解析】（1）将数列改写为，，，，…，
故.
（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故.
（3）将数列改写为, , , ，…，
故.
（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，
故或
【总结】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；
②注意(－1)n或(-1)n+1〔或(-1)n-1〕在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现；
③归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化，在此处经常用到由特殊到一般的不完全归纳法，此时要联想到一些已经学****过的基本数列，如：，，，，，等。
【变式1-1】求下列数列的一个通项公式:
(1)1,-1,1,-1,…；
(2)3,5,9,17,33,…；
(3),2,,8,,…；
(4)1,0,-,0,,0,-,0,….
【答案】
(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.
(2)an=2n+1.
(3)an=.
(4)an=.
考点二：数列的递推关系式
例2已知各项都为正数的数列满足，.
（I）求；
（I