人教高中数学第34讲 等比数列（解析版）.docx

第34讲 等比数列
【基础知识网络图】
等比数列
等比中项
通项公式及相关性质
等比数列与函数的关系
【基础知识全通关】
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．
当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
【考点研****一点通】
考点一：等比数列的概念、公式
例1.若数列为等比数列，, , 求.
【思路】：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。
【解析】：法一：令数列的首项为,公比为q，则有
即 ，
(2)÷(1)有, ∴.
∴.
法二：∵为等比数列，
∴ 即,
∴.
∴.
法三：∵为等比数列，
∴、、、,…也为等比数列，
∴, ∴
又∵.
∴
【总结】：熟悉等比数列的概念，基本公式及性质，要依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
【变式1-1】已知等比数列，若，，求。
法一：∵，∴，∴
从而解之得，或，
当时，；当时，。
故或。
法二：由等比数列的定义知，
代入已知得
将代入（1）得，
解得或
由（2）得或 ，以下同方法一。
考点二、等比数列的性质
例2.（1）等比数列中，，，，则 (　　)
A． B．
C． D．
(2)设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】：A B
【解析】：（1），所以
又因为，则
所以，则
（2），两式相减：
所以
【变式2-1】等比数列中，若,求.
【解析】：∵是等比数列，∴
∴
考点三：等比数列的判断与证明
例3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？
【解析】：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+),
∴a1=S1=51-1=4,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1
而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,
∴n∈N+时，an=4×5n-1
由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.
【变式3-1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。
【解析】：p=2或p=3；
∵{Cn+1-pCn}是等比数列，
∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)
∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]
即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]
整理得：,解得：p=2或p=3,
显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式3-2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.
证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q
为证{Cn}不是等比数列，只需证.
∵,
∴,
又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,
∴即
∴数列{Cn}不是等比数列.
考点四：等比数列的其他考点
例4．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
【思路】：结合数列的性质设未知数。
【解析】：
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数