人教高中数学第八章 成对数据的统计分析知识总结.doc

第八章成对数据的统计分析


知识点一、变量间的相关关系
1. 变量与变量间的两种关系：
（1） 函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S与半径r之间的关系S=πr2为函数关系．
（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．
2. 相关关系的分类：
（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量；
（2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩．
3. 散点图：
将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．
4. 回归分析：
与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
知识点二、线性回归方程：
1．回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
2．回归直线方程
对于一组具有线性相关关系的数据，，……，，其回归直线的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：
，
其中表示数据xi（i=1，2，…，n）的均值，表示数据yi（i=1，2，…，n）的均值，表示数据xiyi（i=1，2，…，n）的均值．
、的意义是：以为基数，x每增加一个单位，y相应地平均变化个单位．
3．求回归直线方程的一般步骤：
①作出散点图
由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系，若存在线性相关关系，进行第二步。
②求回归系数、
计算，，
，，
利用公式求出，
再由求出的值；
③写出回归直线方程；
④利用回归直线方程预报在x取某一个值时y的估计值。
知识点三、相关性检验
（1）相关系数r的定义
对于变量x与y随机抽取到的n对数据，，……，，称为x与y的样本相关系数。
（2）相关系数r的作用
样本相关系数r用于衡量两个变量之间是否具有线性相关关系，描述线性相关关系的强弱：
①
越接近1，表明两个变量之间的线性相关程度越强；越接近0，表明两个变量之间的线性相关程度越弱。
②当r＞0时，表明两个变量正相关， 即x增加，y随之相应地增加，若x减少，y随之相应地减少．
当r＜0时，表明两个变量负相关， 即x增加，y随之相应地减少；若x减少，y随之相应地增加．
若r=0，则称x与y不相关。
③当，认为x与y之间具有很强的线性相关关系。
④当大于时，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系，这时求回归直线方程有必要也有意义，当时，寻找回归直线方程就没有意义。
（3）利用相关系数r检验的一般步骤：
法一：
①作统计假设：x与y不具有线性相关关系。
②根据样本相关系数计算公式算出r的值。
③比较与0.75的大小关系，得出统计结论。如果，认为x与y之间具有很强的线性相关关系。
法二：
①作统计假设：x与y不具有线性相关关系。
②根据样本相关系数计算公式算出r的值。
③根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r的一个临界值（n未数据的对数）。
④比较与，作统计推断，如果，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系。如果，我们没有理由拒绝原来的假设，即不认为x与y之间具有线性相关关系。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。
知识点四、线性回归分析与非线性回归分析
1．线性回归分析
对于回归分析问题，在解题时应首先利用散点图或相关性检验判断x与y是否具有线性相关关系，如果线性相关，才能求解后面的问题．否则求线性回归方程没有实际意义，它不能反映变量x与y，之间的变化规律．只有在x与y之间具有相关关系时，求线性回归方程才有实际意义．
相关性检验的依据：主要利用检验统计量

（其中化简式容易记也好用）求出检验统计量的样本相关系数，再利用r的性质确定x和y是否具有线性相关关系，r具有的性质为：|r|≤1且|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱．
2. 线性回归分析的一般步骤
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
（2）判断两变量是否具有线性相关关系
①作散点图
由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系。
②求相关系数r
当，认为x与y之间具有很强的线性相关关