人教高中数学第七节 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例 教案.doc

第七节　正弦定理和余弦定理
第1课时　系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例
知识点一　正弦定理、余弦定理
1．正、余弦定理及变形
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝a2＋c2－2accos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C　
变形
形式
a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝；sin B＝；sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A；
＝2R
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
　[提醒]　若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．谨记常用结论
(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则
①sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．
②sin ＝cos ，cos ＝sin .
③sin A＝sin B⇔A＝B；
sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝.
④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．
(2)三角形的面积
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
[重温经典]
1．(教材改编题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　 B．1
C. D．
答案：D
2．(教材改编题)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asin B＝b，则角A等于(　　 )
A. B．
C. D．
答案：A
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，c＝2，b＝2，则C＝(　　)
A. B．或
C. D．或
答案：B
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选C　∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
5．(教材改编题)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝________.
解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①
由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②
由cos B＝，得sin B＝，故S△ABC＝ac×＝6，③
由①②③得，b＝4.
答案：4
6．在△ABC中，