人教高中数学课时跟踪检测（四十四） 椭圆 作业.doc

课时跟踪检测（四十四） 椭圆
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析：选AD　∵mx2＋ny2＝1，∴＋＝1，若m＞n＞0，∴0＜＜，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝，C是圆，半径为，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝，∴y＝±，则C是两条直线，D正确．故选A、D.
2．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2　　　　　　　 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B　因为椭圆的离心率e＝＝，
所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．18
解析：选C　椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A　∵△AF1B的周长为4，
∴由椭圆的定义可知4a＝4，
∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为＋＝1，故选A.
5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　　)
A．1 B．
C. D．2
解析：选C　∵c＝＝1，b＝m，由∠F1AF2＝，得∠F1AO＝，
∴tan∠F1AO＝＝，解得m＝，故选C.
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C. D．－1
解析：选D　由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：选C　由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则
P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A　连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.
5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是(　　)
A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
解析：选AD　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；