专题11 坐标系与参数方程-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（人教版）（解析版）.doc

专题11 坐标系与参数方程
1．（2021·江苏高考真题）以抛物线的焦点为圆心，且与直线(为参数）相切的圆的标准方程是____________.
【答案】
【分析】将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案.
【详解】解：将抛物线方程化为标准方程得，所以焦点坐标为，
将直线的参数方程化为普通方程得，
所以点到直线的距离为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：
2．（2021·全国高考真题（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得
.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.
1．（2021·上海普陀区·高三其他模拟）已知直线l的参数方程是（，为参数），则直线l的倾斜角的大小为___________.
【答案】110°
【分析】把直线的参数方程转换成标准式即可直接得出结果.
【详解】解：直线l的参数方程是（，为参数），
转换为标准式为(t为参数)，
所以直线的倾斜角为110°，
故答案为：110°.
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线交于､两点，与轴交于点，若，求直线的普通方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）化简，然后根据代入化简即可.
（2）分别假设点所对应的参数，然后直线参数代入（1）中的直角坐标方程，结合韦达定理，然后计算即可.
【详解】（1）由可得，
，由
，曲线的直角坐标方程是.
（2）设､两点对应的参数分别为､，
联立直线的参数方程与曲线的普通方程，整理得
，
，
设点对应的参数为，由，可得，
由得，
即，
，
，即，
直线的斜率，
故直线的方程为或.
3．（2021·陕西高三其他模拟（文））在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系
（1）求曲线的直角坐标方程，并说明是什么曲线；
（2）直线的参数方程为为参数，，点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，求的最大值.
【答案】（1）；曲线是以为圆心，半径为2的圆；（2）2.
【分析】（1）化简极坐标方程，将极坐标与直角坐标方程的转化公式，代入求得直角坐标方程，并描述曲线；
（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，根据参数方程的几何意义，求出问题的表达式，从而求得最大值.
【详解】（1）
由知，，即
曲线是以为圆心，半径为2的圆；
（2）联立，化简得
则由韦达定理知，
则由直线的参数方程几何意义知，设，，
则，
由，当且仅当时，取得最大值2.
4．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（文））平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.
【答案】（1）的普通方程，的直角坐标方程为；（2）.
【详解】解：（1）曲线的参数方程为，
消去参数得曲线的普通方程.
∵，
∴.
又，
∴直线的直角坐标方程为.
（2）法一：设直线的参数方程为(为参数，将其代入曲线的直角坐标方程化简得，
∴，.
∴.
法二：由，
化简得，
则，.
从而，.
∴.
（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）(法一)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
(法二)利用方程组的解法和两点间的距离公式的应用求出结果.
本题考查的