人教版第13讲 三角函数的概念及诱导公式（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第13讲 三角函数的概念及诱导公式
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
α＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
180°＝π rad；＝(n为角度数，α为弧度数)
弧长公式
弧长l＝αr
扇形面积公式
S＝lr＝αr2
3.任意角的三角函数
定义：设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上的任一点，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
4.三角函数线
(1)正弦线与余弦线
如图所
示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，为角α的余弦线.类似地，称为角α的正弦线.
(2)正切线
如图所示，设角α的终边或终边的反向延长线与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线.
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
6.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
－α
＋α
＋α
－α
正弦
sin α
－sin α
sin α
－sin α
cos α
cos α
－cos α
－cos α
余弦
cos α
cos α
－cos α
－cos α
sin α
－sin α
sin α
－sin α
正切
tan α
－tan α
－tan α
tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
7.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝.
8.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝.
9.函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b为常数)，可以化为f(x)＝sin(x＋φ)或f(x)＝·cos(x－φ).
10.半角公式
(1)S：sin＝±，sin2＝；
(2)C：cos＝±，cos2＝；
(3)T：tan＝±(无理形式)，tan2＝；tan＝＝(有理形式).
考点和典型例题
1、三角函数的概念
【典例1-1】（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（       ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】A
【详解】
如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.
故选：A.
【典例1-2】（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，
解得，
所以，
所以圆锥的体积为
，
故选：C
【典例1-3】（2022·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，
在中，，所以，，
所以在直角三角形中，，所以，所以，而，
所以，所以.
故选：A.
【典例1-4】（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的终边关于
y轴对称，则(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵是