人教高中数学专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值(解析版).docx

专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值
【考纲要求】
了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；
4、会求闭区间上函数的最大值、最小值
一、利用导数研究函数的单调性
【思维导图】
【考点总结】
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
二、利用导数研究函数的极值与最值
【思维导图】
【考点总结】
1、函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
2、函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
3、函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
三、利用导数研究零点与不等式恒成立问题
【思维导图】
【题型汇编】
题型一：利用导数研究函数的单调性
题型二：利用导数研究函数的极值
题型三：利用导数研究函数的最值
题型四：导数中的极值点偏移问题
【题型讲解】
题型一：利用导数研究函数的单调性
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解
【详解】
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得极大值，则，，
故．
故选：D
3．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.
【详解】
容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.
对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.
故选：B.
4．（2022·四川省泸县第一中学二模（文））下列函数中为奇函数且在单调递增的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式对选项进行逐一判断是否为奇函数，利用导数判断其单调性可得答案.
【详解】
选项A. 函数为偶函数，故不满足题意.
选项B. 由
当时，，函数单调递减，不满足题意.
选项C. 函数为奇函数，且在上恒成立，
所以函数在上单调递增，满足题意.
选项D. ,当时，，故函数不为奇函数，不满足题意.
故选：C
5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题