人教专题7.6 数学归纳法 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题7.6 数学归纳法
练基础
1．（2021·全国高三专题练****理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.
【详解】
当时，左边，共个连续自然数相加，
当时，左边，
所以从到，等式左边需增添的项是.
故选：C.
2．（2020·全国高三专题练****已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
【答案】B
【解析】
直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．
【详解】
解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，
不是，因为是偶数，是奇数，
故选：．
3．（2020·全国高三专题练****理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
【答案】C
【解析】
根据数学归纳法、不等式特点知有左侧，有左侧，即可判断增加的项数.
【详解】
时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，
增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，
故选：C.
4．（2021·全国高三专题练****理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.
【详解】
根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，
右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.
故选：B.
5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“” 的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，
左边为
故增加的项数为项.
故答案为：C.
6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．
【答案】5
【解析】
分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.
【详解】
当时，原式为：，
当时，原式为，
比较后可知多了，共5项.
故答案为：5
7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
【答案】
【解析】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
①，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
则，
，也满足，
结合①②可知，，故答案为．
8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列an中，a1=1,an+1=1+an1+ann∈N∗用数学归纳法证明：an<an+1n∈N∗.
【答案】见解析.
【解析】
当n=1时，a2=1+a11+a1=32，a1<a2，所以，n=1时，不等式成立；
假设n=k（k∈N∗）时，ak<ak+1成立，则当n=k+1时，
ak+2−ak+1=1+ak+11+ak+1−ak+1=1+ak+11+ak+1−(1+ak1+ak) =11+ak−11+ak+1
=ak+1−ak(1+ak)(1+ak+1)>0，
所以，n=k+1时，不等式成立．
综上所述，不等式an<an+1(n∈N∗)成立．
9.（2021·全国高三专题练****数列满足.
（1）计算，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】(1) ；；；.
(2)证明见解析.
【详解】
分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.
详解：
（1）当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
由此猜想；
（2）证明：①当时，结论成立，
②假设（，且）时结论成立，即，
当时， ，
∴，∴，
∴当时结论成立，
由①②可知对于一切的自然数，成立.
10．（2021·全国高三专题练****理））已知数列{an}满