人教高中数学专题6-2 数列求通项(解析版）.docx

专题6-2数列求通项
目录
专题6-2数列求通项 1
1
题型一：法 1
题型二：累加法 6
题型三：累乘法 10
题型四：构造法 13
题型五：倒数法 18
22
题型一：法
【典例分析】
例题1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测（理））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
故等比数列的公比q＝3，
令n＝1，得，
∴，
∴；
例题2．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知等比数列的前项和为．
(1)求实数的值，并求出数列的通项公式；
【答案】(1)，
(1)
解：当时，；
当时，；
因为是等比数列，
所以，即，解得．
综上，k的值为4，数列的通项公式为．
例题3．（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
【答案】(1)
（1）当时，，所以，，整理得：，即.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以
，即.
例题4．（2022·宁夏·银川一中一模（理））已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：由题可知，①，
所以，②，
①②得，所以（*），
又因为，所以，符合（*）式，
所以；
【提分秘籍】
对于数列，前项和记为；
①；②
②：
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与
替换题目中的
例子：已知；
已知
的关系
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
2．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵，①
当时，，即
当时，．②
由①－②得，即
∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴
3．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
【答案】(1)，；
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则
解得，
所以
因为，
所以当时，；
当时，，
所以
显然符合．
综上可知．
4．（2022·四川·石室中学三模（文））已知数列的前n项和为，且.
(1)求，及数列的通项公式；
【答案】(1)，，；
(1)
∵①，
∴当n=1时，，即，；
当n=2时，，即，将代入并整理得，．
当时，②，
由①－②得，，∴，
因此，当时，，
当n=2时，，∴在n=2时不成立，
故
题型二：累加法
【典例分析】
例题1．（2022·福建泉州·高二期末）已知数列满足：为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
(1)由，故的公差为，
，
，
当时，满足，
故对；
例题2．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知，数列满足，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：因为，即，
所以，，…，，
以上各式相加得，
又，所以.
当时，，
故的通项公式为.
【提分秘籍】
累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；
(1)，
.
2．（2022·全国·模拟预测）给出以下两个条件：①，；②，．请从这两个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知数列的前n项和为，且______．
(1)求数列的通项公式；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(1)解：若选①：
由，得，
即，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以．
当时，，
，
而也满足上式，故．
若选②：
由，
得，
所以，
即，
则
，
即，
解得．
3．（2022·河