人教高中数学专题8-1 立体几何中外接球内切球问题(解析版）.docx

专题8-1立体几何中外接球内切球问题
目录
专题8-1立体几何中外接球内切球问题 1
1
题型一：外接球公式法 1
题型二：外接球补型法 4
题型三：外接球单面定球心法 10
题型四：外接球双面定球心法 18
题型五：内切球问题 25
34
一、单选题 34
二、多选题 41
三、填空题 45
题型一：外接球公式法
【典例分析】
例题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（    ）
A．24π B．32π C．36π D．48π
【答案】C
【详解】设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，解得，，所以长方体外接球的半径为，所以外接球的体积为.
故选：C.
例题2．（2022·广东珠海·高一期末）一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为正方体的棱长为，所以其体对角线为，
所以外接球的直径即为，即外接球的半径，
所以外接球的体积；
故选：D
例题3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））若体积为12的长方体的每个顶点都在球的球面上，且此长方体的高为2，则球的表面积的最小值为___________.
【答案】
【详解】设长方体长和宽分别为，球的半径为，所以
所以，故
所以表面积，当时，等号成立.
即球的表面积的最小值为
故答案为：
【提分秘籍】
①长方体外接球：在长方体中，设一个顶点出发的三条边长分别为：，，，则长方体外接球半径
②正方体外接球：在正方体中，设边长为，则正方体外接球半径
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练****长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积
故选：C.
2．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（文））已知长方体的外接球的表面积为，若，，则直线与直线所成角的余弦值为__________．
【答案】##
【详解】设长方体的外接球半径为，则，可得，
则，，
连接、，如下图所示：
因为且，故四边形为平行四边形，则，
故直线与直线所成角为或其补角，
由勾股定理可得，，
，
由余弦定理可得，
因此，直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
3．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）
【答案】
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.
故答案为：.
题型二：外接球补型法
【典例分析】
例题1．（2022·广东·佛山一中高三阶段练****在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为__________．
【答案】
【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱，且对棱中点E，F分别满足，，
则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球
如下图所示：
设长方体的长、宽、高分别为
则，
所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练****在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
例题3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为___________；若､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最大值为___________.
【答案】     3    
【详解】由已知可证明，，两两垂直且长度均为，
所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设外接球的半径为，则.
设三棱锥外接球球心为，内切球球心为，内切球与平面的切点为，易知：，，三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，由等体积法：
，得，
将几何体沿截面切开，得到如下截面图：
两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到，，
∴，∴，两点间距离的最大值为.
故答案为：3；