人教专题07 平面向量-2022年高考真题和模拟题数学分专题训练(教师版含解析).docx

专题07 平面向量
1．【2022年全国乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，则a-b(       )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得a-b，然后求得a-b.
【详解】
因为a-b=2,1--2,4=4,-3，所以a-b=42+-32=5.
故选：D
2．【2022年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3，则a⋅b=(       )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵|a-2b|2=|a|2-4a⋅b+4b2，
又∵|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,
∴9=1-4a⋅b+4×3=13-4a⋅b，
∴a⋅b=1
故选：C.
3．【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=(       )
A．3m-2n B．-2m+3n C．3m+2n D．2m+3n
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD-CB=2CA-CD，
所以CB= 3CD-2CA=3n-2m =-2m+3n．
故选：B．
4．【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若<a,c>=<b,c>，则t=(       )
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解：c=3+t,4,cosa,c=cosb,c,即9+3t+165c=3+tc,解得t=5,
故选：C
5．【2022年北京】在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是(       )
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意建立平面直角坐标系，设Pcosθ,sinθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C0,0，A3,0，B0,4，
因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设Pcosθ,sinθ，θ∈0,2π，
所以PA=3-cosθ,-sinθ，PB=-cosθ,4-sinθ，
所以PA⋅PB=-cosθ×3-cosθ+4-sinθ×-sinθ
=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ
=1-3cosθ-4sinθ
=1-5sinθ+φ，其中sinφ=35，cosφ=45，
因为-1≤sinθ+φ≤1，所以-4≤1-5sinθ+φ≤6，即PA⋅PB∈-4,6；
故选：D
6．【2022年全国甲卷】已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b，则m=______________．
【答案】-34##-0.75
【解析】
【分析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
由题意知：a⋅b=m+3(m+1)=0，解得m=-34.
故答案为：-34.
7．【2022年全国甲卷】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+b⋅b=_________．
【答案】11
【解析】
【分析】
设a与b的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a⋅b，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cosθ=13，
又a=1，b=3，所以a⋅b=a⋅bcosθ=1×3×13=1，
所以2a+b⋅b=2a⋅b+b2=2a⋅b+b2=2×1+32=11．
故答案为：11．
8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1A2上，则PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是_______．
【答案】[12+22,16]
【解析】
【分析】
根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA12+PA22+⋯+PA82=8(x2+y2)+8，然后利用cos22.5∘≤|OP|≤1即可解出．
【详解】
以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立