人教高中数学专题02 等比数列必备知识点与考点突破(解析版).docx

专题02 等比数列必备知识点与考点突破
【必备知识点】
◆知识点1:等比数列
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.
2.等比数列的判定
(1)(定义法); (2)(中项法)
(3) (通项法)； (4)(和式法).
3.等比数列通项公式
或
例:已知数列满足，，则下列结论正确的是（       ）
A．数列是公差为的等差数列
B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列
D．数列是公比为2的等比数列
【答案】C
【解析】
∵，
∴，
既不是等比数列也不是等差数列；
∴，
∴数列是公比为的等比数列．
故选：C
例:已知等比数列{}中，满足，，则（       ）
A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列
【答案】AC
【解析】
由题意得：，所以，则，
所以数列{}是等比数列，A正确；
，所以，且，故数列是递减数列，B错误；
，所以，C正确；
，
因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误.
故选：AC
◆知识点2:等比数列的性质
设为等比数列,公比为,则
(1)若,则.
(2)若成等差数列,则成等比数列.
(3)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
数列是公比为|q|的等比数列;
若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列.
(4)在数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 .
(5)在数列中,连续相邻项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列是各项都为正数的等比数列,则数列且是公差为的等差数列.
(7)等比数列的连续项的积构成的数列: ,仍为等比数列.
例:在正项等比数列中，，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
在等比数列中，，
于是得，而，所以.
故选：C
例:已知等比数列满足，，则（       ）
A．数列是等差等列 B．数列是等差数列
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列
【答案】B
【解析】
解：因为等比数列满足，，
则，故数列是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则，故数列是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确；由A知：。故数列是递增数列，故C错误；
由B知：，故数列是递减数列，故D错误；
故选：B
◆知识点3:等比数列前n项和
1.等比数列前项和公式
当时,
当时,
2.等比数列前项和公式与指数函数的关系
(1)当时, 是关于的正比例函数,点是直线上的一群孤立的点.
(2)当时,.记 ,则是一个指数式与一个常数的和.当且时,是指数函数,此时,点是指数型函数图象上的一群孤立的点.
如等比数列 的前项和为,点是函数图象上的一群孤立的点.
例:已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【解析】
∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
例:已知等比数列的前n项和，则实数t的值为（       ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】
由等比数列的前项和，分别令，2，3．
得，，，
解得，，，
由等比数列可得，即，，
解得，故选：．
◆知识点4:等比数列前n项和的性质
已知等比数列的公比为,前项和为,则有如下性质:
(1).
证明: .
(2)若均不为0 ,则成等比数列,且公比为.
(3)若共有项,则;
若共有 项,则.
例:等比数列的前n项和为，已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
例:已知等比数列的前项和为，，，则（       ）
A．90 B．100
C．120 D．130
【答案】D
【解析】
设公比为，有，可得，
故选：D．
例:已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，