人教高中数学专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版).docx

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性
专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性
一、多选题
1．若函数f（x）的导函数在定义域内单调递增，则f（x）的解析式可以是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】A：由，令，
因为，所以函数是实数集上的增函数，符合题意；
B：由，因为一次函数是实数集上的增函数，
所以符合题意；
C：由，因为函数是周期函数，所以函数不是实数集上的增函数，因此不符合题意；
D：由，令，
则，当时，单调递减，因此不符合题意，
故选：AB
二、解答题
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若至少有两个零点，求a的取值范围．
【解析】(1)由，
在，上，在上，
所以在上递减，上递增，上递减.
(2)由（1）知：极小值为，极大值为，
要使至少有两个零点，则，可得.
3．设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】(1)由题意知，，又
即 ，解得；
(2)已知，令，知
当时，，此时函数在单调递增
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
4．已知函数，．当时，求证：在上单调递增.
【解析】证明：当时，，，
则，又在上单调递增，且，且（1），
，使得，
当时，，当,时，，
在上单调递减，在,上单调递增，，
，，，，在上单调递增.
5．已知函数，讨论的单调性；
【解析】因为，
所以，
当时，，，在上单调递增．
当时，，，若，则，单调递减，若，
则，单调递增．
当时，，若，则，单调递减，若
或，则，单调递增．
综上可得，
当时，在上单调递增；
当时在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
6．已知，设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1)，且，
①，，单调递增；②，，单调递减；
③，，
时，，单调递减，时，，单调递增；
综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增
(2)，
即，令，
则，令，可得，
当时，，则在单调递减，
则只需满足，∴，解得，∴；
当时，可得在单调递增，在单调递减，
则，整理可得，
令，则，
，，则可得在单调递增，在单调递减，
则，故时，恒成立，
综上，；
7．已知函数.
(1)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【解析】（1）由题意，所以，当时，，，
所以，因此，曲线在点处的切线方程是，
即.
（2）因为，
所以，
令，则，所以在上单调递增，因为，
所以，当时，；当时，.
（1）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以当时取到极大值，极大值是，
当时取到极小值，极小值是.
（2）当时，，
当时，，单调递增；
所以在上单调递增，无极大值也无极小值.
（3）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以当时取到极大值，极大值是；
当时取到极小值，极小值是.
综上所述：
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.
专项突破二 利用导数求函数单调区间(不含参)
一、单选题
1．函数的单调减区间是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】,由，得，所以的单调递减区间为.故选：B
2．函数的单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题得函数的定义域为.，
令.所以函数的单调递减区间为.故选：A
3．已知函数的导函数为，，则函数的单调递增区间为（       ）
A． B．，
C． D．
【解析】由得，所以，，
，因为，所以由得，故选：C．
4．已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（       ）
A．(-¥,0) B．(1,+∞) C．(-¥,1) D．(0,+∞)
【解析】由题设，则，可得，
而，则，
所以，即，则且递增，
当时，即递减，故递减区间为(-¥,0).故选：A
二、多选题
5．函数的一个单调递减区间是（       ）
A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1）
【解析】的定义域为，，
所