人教高中数学专题4-1 三角函数中的高频小题归类(解析版）.docx

专题4-1三角函数中的高频小题归类
目录
专题4-1三角函数中的高频小题归类 1
1
题型一：与扇形有关的数学文化 1
题型二：同角三角函数 8
题型三：三角函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性问题 12
题型四：根据三角函数图象求解析式 20
题型五：拼凑角问题 31
题型六：三角函数中的值域问题 35
题型七：三角函数中问题 41
题型八：三角函数的实际应用 47
57
一、单选题 57
二、多选题 63
三、填空题 68
题型一：与扇形有关的数学文化
【典例分析】
例题1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形
ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
【答案】
【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积

所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：
例题2．（2022·广东·铁一中学高三期末）某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.
【答案】
【详解】如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,
,,
, ,
又,可得,
，
中的小扇形的面积为，
中的小扇形的面积为，
中的小扇形的面积为，
则三个圆之间空隙部分的面积为
故答案为：
【提分秘籍】
扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
【变式演练】
1．（2022·江西·南昌市第八中学高三阶段练****理））王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼､诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（    ）
（参考数据：，，）
A．1 B．20 C．600 D．6000
【答案】D
【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为.
令，则.
∵，，.
∴，
又.
所以按每层楼高计算，需要登上6000层楼.
故选：D.
2．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，
因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，
所以，
因为，
所以，
所以曲池体积为.
故选：D
3．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练****月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（    ）（参考数据：）
A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2
【答案】D
【详解】设的外接圆的半径为，则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，
所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为
，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为
，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练****鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出圆角正方形（视为正方形）的孔来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部分）与它钻出的圆角正方形孔洞的横截面，现有一个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过