人教高中数学专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版).docx

专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)
【必备知识点】
◆构造六:取对数构造法
型如,或者为常数.
针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.
【经典例题1】数列中, ,,求数列的通项公式.
【解析】
取以为底的对数(不能取为底,因为,不能作为对数的底数),得到,,设,则有,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,.
【经典例题2】数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
取以为底的对数(这里知道为什么不能取为底数的对数了吧),得到,,设,则有,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,,.
【经典例题3】已知,点在函数的图像上,其中,求数列的通项公式.
【解析】
将代入函数得,,即
两边同时取以3为底的对数,得(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为,,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以是以1为首项,2为公比的等比数列,即
,,.
【经典例题4】在数列中, ,当时,有,求数列的通项公式.
【解析】
由,得,即,两边同取以3为底的对数,得,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,,即.
◆构造七:二阶整体构造等比
简单的二阶整体等比:关于的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为,利用成等比数列,以及叠加法求出.还有一小部分题型可转化为,利用成等比数列求出.
【经典例题1】已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
由,故是以为首项,2为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加得:,所以.
【经典例题2】已知数列中,,,,求数列的通项公式。
【解析】
由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即
,接下来就是叠加法啦,全部相加,利用等比数列求和得:,.
【经典例题3】数列中,,,,求数列的通项公式。
【解析】
由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法,全部相加,利用等比数列求和得:,.
此方法可以解决大多数的,模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造成等比数列可能解决不了问题.我们需要学****更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学****数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.
【经典例题4】已知数列满足,,,求数列的通项公式.
【解析】
看到这道例题,当我们希望通过构造为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造成等比来解决.设原等式
,打开得到,对应项系数相等,解得,所以构造为首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,这就回到了熟悉的型.下面的操作就看你们的了.
【经典例题5】已知数列满足,,,求的通项公式.
【解析】
通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得或,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造首项为,公比为的等比数列或构造为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.
构造一: ,即,这就回到了熟悉的型,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
构造二: ,即 ,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
秒杀求法:
类通项公式暴力秒杀求法
对应的特征方程为:,设其两根为
当时,
当时,
其中,的值的求法,用的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可
【秒杀例题1】已知数列满足,,,求的通项公式.
【解析】
,对应的特征方程为:,解得两根为,,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即
,解得,代入化简得.
【秒杀例题2】已知数列满足,,,求数列的通项公式.
【解析】
,对应的特征方程为:,解得两根为,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即
解得,代入化简得.
【练****1】在数列中,,则_______.
【答案】
【解析】
,
, 即,
数列是首项为1,公比为2的等比数列,
, 由累加法可得,
,
【练****2】设数列的前项和为.已知,且当时, .
(1)求的值；
(2)证明：为等比数列 ;
(3)求数列的通项公式.
【答案】
【解析】