人教高中数学专题09 利用导数研究函数的性质（解析版）.docx

专题09 利用导数研究函数的性质
1、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】     y=1ex     y=−1ex
【解析】 因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x1，由y'=1x，所以y'|x=x1=1x1，所以切线方程为y−ln−x1=1x1x−x1，
又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x1−x1，解得x1=−e，所以切线方程为y−1=1−ex+e，即y=−1ex；
故答案为：y=1ex；y=−1ex
2、【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=x3−x+1，则（       ）
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AC
【解析】由题，f'x=3x2−1，令f'x>0得x>33或x<−33，
令f'(x)<0得−33<x<33，
所以f(x)在(−33,33)上单调递减，在(−∞,−33)，(33,+∞)上单调递增，
所以x=±33是极值点，故A正确；
因f(−33)=1+239>0，f(33)=1−239>0，f−2=−5<0，
所以，函数fx在−∞,−33上有一个零点，
当x≥33时，fx≥f33>0，即函数fx在33,+∞上无零点，
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R，ℎ−x=−x3−−x=−x3+x=−ℎx，
则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，
将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；
令f'x=3x2−1=2，可得x=±1，又f(1)=f−1=1，
当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，
故D错误.
故选：AC.
3、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．
【答案】1e,1
【解析】解：f'x=2lna⋅ax−2ex，
因为x1,x2分别是函数fx=2ax−ex2的极小值点和极大值点，
所以函数fx在−∞,x1和x2,+∞上递减，在x1,x2上递增，
所以当x∈−∞,x1∪x2,+∞时，f'x<0，当x∈x1,x2时，f'x>0，
若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'x>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若0<a<1时，则方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x1,x2，
即方程lna⋅ax=ex的两个根为x1,x2，
即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，
∵0<a<1,∴函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，
又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的lna倍得到，如图所示：
设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x0,lna⋅ax0，
则切线的斜率为g'x0=ln2a⋅ax0，
故切线方程为y−lna⋅ax0=ln2a⋅ax0x−x0，
则有−lna⋅ax0=−x0ln2a⋅ax0，解得x0=1lna，
则切线的斜率为ln2a⋅a1lna=eln2a，
因为函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，
所以eln2a<e，解得1e<a<e，
又0<a<1，所以1e<a<1，
综上所述，a的范围为1e,1.
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
5、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．