人教重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·广西柳州·三模（理））若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合题设可得，再根据目标式构造，利用导数求其最大值即可.
【详解】由题设，，则，而，
所以处的切线方程为，
则，故，
令，则，
当时，，即递增；当时，，即递减；
所以，故的最大值.
故选：A
2．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知实数， 函数， 满足， 则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设是的两个零点且，应用根与系数关系求得，，进而代换目标式得到以为参数、为自变量的二次函数，由二次函数的性质可得，构造函数并应用导数研究单调性，即可求最大值.
【详解】令是的两个零点，由题设若，
由根与系数关系有：，，
所以，
由且，即，
所以，
令，则，在上，
所以在上递增，则.
综上，，此时，
所以时，的最大值.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：设的零点并注意，由根与系数关系用零点表示m、n，进而转化为以为自变量的二次函数形式，根据其开口方向及其最值得到不等关系，最后构造函数并应用导数求不等式中关于表达式的值域.
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练****在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（       ）
A．y=﹣2x B．y=x﹣6 C．y= D．y=x2﹣3x+4
【答案】AC
【分析】横纵坐标相等的函数即，与有交点即存在完美点，依次计算即可.
【详解】横纵坐标相等的函数即，与有交点即存在完美点，
对于A,，解得，即存在完美点，
对于B,，无解，即不存在完美点，
对于C,，解得或，即存在完美点，
对于D,， ,即，解得，即不存在完美点，
故选：AC.
三、双空题
4．（2022·云南师大附中高三阶段练****文））如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边上分别取点E，F，G，且满足，在△内建造喷泉瀑布，在△内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当______时，栈道最短，此时_______．
【答案】         
【分析】由题设有△△，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值.
【详解】由题意， △△，
设，则．
在△中，得，则．
由于，解得.
令，，则．
令，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，有最大值，则.
故答案为：，．
【点睛】关键点点睛：注意根据，的长度判断对应三角函数值的范围.
四、解答题
5．（2021·全国·模拟预测）．
（Ⅰ）若函数在定义域内有两个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有三个不相同的零点，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系及零点的性质，即可求解；
（Ⅱ）构造函数，利用零点存在性定理及导数与函数单调性的关系即可得证．
【详解】（Ⅰ）由题得定义域为，．
∵有两个极值点，
∴在内有两个零点．
设函数，
则，
当时，，
则在上单调递减；
当时，，
则在上单调递增，
可得的最小值为，
∴．
（Ⅱ）证明：，
设的两根为，，且，
∴，，
可得，
当时，，
∴，
当时，
依题意有三个不同的零点，
∴，，
构造函数，
则，
当时，，
所以在上单调递增；
当时，，
所以在上单调递减，
且，，
，，
根据零点存在性定理得，使；，使．令，，则，，
又，，，
∴．
6．（2021·河南平顶山·高三阶段练****理））已知函数在处的切线与直线平行
（1）求实数的值，并求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.
【答案】（1），极小值为；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率求出的值，解关于导函数的不等式，分析函数的单调区间即可得到极值；
（2）令，，构造函数，原题转化为有两个实数根，，利用导数可得，再构造函数，利用导数可得，利用单调性，可得转化为即可求证.
【详解】（1）函数的定义域为，，
由题意知，
，令，则，
当时，；时，.
的极小值为
（2）由（1）知，由得，
即，
所以.
，不妨设
令，，
则原题转化为有两个实