人教专题2.4 函数的单调性与最值-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.4 函数的单调性与最值-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•辽宁期末）下列函数中，定义域为R，又是（0，+∞）上的增函数的是（　　）
A．y=log2(x2+1) B．y＝e﹣x
C．y=x12 D．y＝x2﹣x﹣6
【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性和定义域，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数y=log2(x2+1)的定义域为R，又是（0，+∞）上的增函数，符合题意；
对于B，y＝e﹣x是指数函数，定义域为R，当在（0，+∞）上的减函数，不符合题意；
对于C，y=x12是幂函数，其定义域是[0，+∞），不符合题意；
对于D，y＝x2﹣x﹣6是二次函数，在（0，12）上单调递减，不符合题意；
故选：A．
2．（5分）（2020秋•东城区期末）若函数f（x）是R上的减函数，a＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．f（a2）＜f（a） B．f(a)＜f(1a)
C．f（a）＜f（2a） D．f（a2）＜f（a﹣1）
【解题思路】可取a＝1，从而可判断出选项A，B都错误；可得出a＜2a，根据f（x）是R上的减函数可得出f（a）＞f（2a），从而判断C错误，这样只能选D．
【解答过程】解：a＝1时，a2=a，a=1a，
∴f(a2)=f(a)，f(a)=f(1a)，∴A，B都错误；
∵a＞0，a＜2a，f（x）是R上的减函数，∴f（a）＞f（2a），即C错误；
a2−(a−1)=a2−a+1=(a−12)2+34＞0，∴a2＞a﹣1，且f（x）是R上的减函数，
∴f（a2）＜f（a﹣1），即D正确．
故选：D．
3．（5分）（2020秋•张掖期末）若幂函数f（x）的图象过点(22，12)，则函数g(x)=f(x)ex的递减区间为（　　）
A．（0，2） B．（﹣∞，0）和（2，+∞）
C．（﹣2，0） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解题思路】求出幂函数的解析式，求出函数g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可．
【解答过程】解：设幂函数f（x）＝xα，它的图象过点（22，12），
∴（22）α=12，∴α＝2；
∴f（x）＝x2；
∴g（x）=x2ex，则g′（x）=2xex−x2exe2x=x(2−x)ex，
令g′（x）＜0，即x（2﹣x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
故g（x）在递减区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），
故选：B．
4．（5分）（2021秋•阆中市校级期中）已知函数f（x）=ax−1x−a在（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
【解题思路】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=a2−1x−a+a，结合反比例函数的性质可得a2−1＞0a≤2，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）=ax−1x−a=a(x−a)+a2−1x−a=a2−1x−a+a，
若f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，必有a2−1＞0a≤2，
解可得：a＜﹣1或1＜a≤2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，2]，
故选：C．
5．（5分）（2021春•雨城区校级期中）已知函数f（x）=1x−x，若a=f(log32)，b＝f（e0.1），c=f(eln33)，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【解题思路】根据题意，分析函数的定义域，求出函数的导数分析可得f（x）在其定义域上为减函数，由指数、对数的性质分析log32＜eln33＜e0.1，结合单调性分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）=1x−x，其定义域为（0，+∞）
其导数f′（x）=−1x2−12x=−（1x2+12x）＜0，则f（x）在其定义域上为减函数，
0＜log32＜log33=12，e0.1＞e0＝1，eln33=33，则有log32＜eln33＜e0.1，
则b＜c＜a，
故选：A．
6．（5分）（2021春•昌江区校级期末）已知函数f(x)=sinπ2x−x2+2x的定义域为[﹣1，3]，则不等式f（2﹣x）＞f（1+x）的解集为（　　）
A．(−12，32] B．(12，1] C．(12，2] D．[1，32)
【解题思路】求导函数，分析导函数在（﹣1，1）上的符号，得出函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，再得出函数f（x）的对称性，由此建立不等式组，解之