人教高中数学重难点04五种平面向量数学思想（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点04五种平面向量数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·浙江·高三专题练****已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，再由向量数量积的定义表示，根据二次函数的性质求得其最值，再由向量夹角公式可得选项.
【详解】因为在中，，，所以，所以

，当且仅当时取等号，因此在中，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据已知向量建立关于向量的模的二次函数，利用二次函数确定取得最值时，的值.
2．（2020·陕西省洛南中学高三阶段练****文））已知向量，向量且，则的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设的坐标为，由向量垂直的坐标表示和向量的模的计算求得选项.
【详解】设的坐标为，又向量，向量且，所以，解得或，故选：C.
【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示和向量的模的坐标运算，属于基础题.
3．（2020·广东珠海·高三阶段练****已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设则可用坐标表示，由于是两个相互独立的变量，即可将代数式中含和的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为的最大值
【详解】构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系，如下图示：
由正方形ABCD边长为1，知：，
若令，即，；
∴，而，，
则在上或有最大值为0，
在上有最大值为1；
∴的最大值为1
故选：C
【点睛】本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值
4．（2022·全国·高三专题练****已知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线的方程为，设点，，求出的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.
【详解】如图所示，以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，
所以直线的方程为，
设点，，所以，
所以，
当时，取到最小值.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.
5．（2020·全国·高三（文））已知向量，且，则等于（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．
【详解】因为，且，
，
则．
故选：．
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
二、多选题
6．（2020·广东·高三专题练****已知不共线的两个单位向量，若向量与的夹角为锐角，则符合上述条件的值可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】向量夹角为锐角时，数量积应大于0，从而求得参数.
【详解】因为向量与的夹角为锐角，所以且，
所以且，即或，
观察各选项可知符合条件的值可以是，.
故选：AB．
三、双空题
7．（2020·全国·高三专题练****文））已知向量、的夹角为，且，，则_______，在方向上的投影等于_______.
【答案】          1
【解析】根据条件可求得,进行数量积的运算,便可由得出,解该方程即可求得的值; 根据投影的计算公式即可得出在方向上的投影.
【详解】根据条件,; 
; 
; 解得或 (舍去); 
(2)在上的投影为，
故答案为：；1.
【点睛】本题考查向量的数量积运算，关键在于准确地运用相应的公式，理解向量数量积的含义，属于基础题.
8．（2019·浙江杭州·高三阶段练****若向量，满足，则的最小值为________，最大值为________．
【答案】     12    
【分析】设，的夹角为，根据向量的运算，得到所以，结合三角函数的性质，即可求解．
【详解】由题意，设，，的夹角为，
则，，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
故的最小值为12，最大值为．
故答案为：，
【点睛】本题主