北师大版初二奥林匹克整数的整除的常用判别方法[上学期].zip

数学竞赛辅导资料（4）
数的整除性
定义 设a，b是整数，b≠0。如果有整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a。
关于整除的若干性质
性质1：如果a|b，b|c，那么a|c。如2|8，8|24，2|24。
性质2：k是任意整数，若b|a，则b|ka。如2|6，5是整数且5×6=30，则2|30。
性质3：如果a|b，a|c，那么a|(b±c)。如2|6，2|8，必有2|（6±8）。
性质4：如果m|ab，（m，a）=1，那么m|b。如3|9×7，（3，7）=1，必有3|9。
注：我们用符号（m，a）表示m，a两数的最大公约数。如果（m，a）=1，那么称m，a两数互质。[a，b]表示a，b两数的最小公倍数。
性质5：如果a|c，b|c，且（a，b）=1，那么ab|c。如3|21，7|21，且（3，7）=1。必有3×7=21|21
性质6：如果a|m，b|m，那么[a，b]|m。
例1 如果n是自然数，n3＋11n必能被6整除。
【分析】n3＋11n是关于n的多项式，可通过多项式的变形，达到其被6整除的目的。
【解】n3＋11n= n3－n＋12n = n(n2－1)＋12n = (n－1)n(n＋1)＋12n
因为(n－1)，n，(n＋1)是三个连续的自然数，所以必有一个是偶数，且必有一个是3的倍数，(n－1)n(n＋1)可被2与3的乘积6整除，而12n显然可被6整除。所以n3＋11n必能被6整除。
【评注】此题中，我们同时证明了三个连续自然数的乘积必能被6整除。
2、整数的整除的常用判别方法
①被4整除的数的判别：一个数的末两位数字组成