北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第18讲 十字相乘法及分组分解法(基础).zip

十字相乘法及分组分解法（基础）
【学****目标】
1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.
2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.
3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)
4. 掌握好简单的分组分解法.
【要点梳理】
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
　　（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
要点三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式
要点四：添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
【典型例题】
类型一、十字相乘法
1、将下列各式分解因式：
（1）； （2）； （3）
【答案与解析】
解：（1）因为
       
所以：原式＝
（2）因为 
            
所以：原式＝
（3）
【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
举一反三：
【变式1】分解因式：（1）； （2）； （3）
【答案】
解：（1）
（2）
（3）
【变式2】（2019秋·闵行区期末）因式分解：.
【答案】解：
=
=.
2、将下列各式分解因式：
（1）； （2）
（3）； （4）.
【思路点拨】（3）题可看成常数项，.（4）题可将看成一个整体来分解因式.
【答案与解析】
解：（1）；
（2）.
（3）；
（4）因为
所以：原式
       
【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.
举一反三：
【变式】将下列各式分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】
解： （1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3、将下列各式分解因式：
（1）；（2）
【答案与解析】
解：（1）因为
         
所以：原式＝
（2）因为
         
所以：原式＝
【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.
举一反三：
【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）；
【答案】
解：（1）；
（2）；
（3）.
类型二、分组分解法
4、（2019春•重庆校级期中）先