北京市丰台区人教版九年级上第24章圆综合练习题含答案.zip

北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学
第24章 圆 综合练****题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1. 如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，．
（1）求证：，并求的长；
（2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.
1．解：，.
，．
又，
．　　．
．
（舍负）．　　
（2）直线与相切．　　
连接．为的直径，．
在中，由勾股定理，得．
．
，．
（或，是等边三角形，．
，．）
．⊥．
又点A在圆上，直线与相切．
2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
2．（1）证明：连接DO.
∵是等边三角形 ，∴∠C=60°，∠A=60°，
∵OA=OD， ∴是等边三角形. ∴∠ADO =60°.
∵DF⊥BC ，∴∠CDF =30°.
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF= 90°.∴DF为⊙O的切线.
（2）∵是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2.
Rt中，∠CDF =30°，∴CF=CD=1. ∴DF=.
（3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴.
∵，∴.
∴．
∴．
∴．
3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．
（1）请证明：是的中点；
（2）若，求的长．

3、（1）证明：连接，如图
，且过圆心
，，是等边三角形．
在中，，点为的中点
（2）解：在中，
又，

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点
Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．
4． （1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°.
∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.
（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=.
∵AQ=AC+CQ=1+，AP=，
∴BP=AB－AP= PO=AP－AO=，
∴BP∶PO=.
5． 已知:如图, BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点E，且E为的中点.
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若，求的长．
5.解：（1）连接OE, ∵E为的中点，∴． ∴ .
∵，∴.∴ .∴OE∥BC.
∵BC⊥AC， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO=∠C=90°. 即OE⊥AC.
又OE为半圆O的半径，∴ AC是半圆O的切线.
（2）设的半径为，
∵，∴. ∴. ∴.
∵OE∥BC，∴.∴. 即 ∴.
6.如图，内接于⊙O，过点的直线交⊙O于点，交的延长线于点，且AB2=AP·AD
（1）求证：；
（2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.
6.解：（1）证明：联结BP．
∵　AB2=AP·AD ，∴　=．
∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD∽△APB，
∴ ∠ABC=∠APB，∵∠ACB=∠APB，
∴ ∠ABC=∠ACB．∴ AB=AC.
（2）由（1）知AB=AC． ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°， ∵P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，
∴∠BAP=90°， ∴　BP是⊙O的直径， ∴　BP=2， ∴ AP=BP=1，
在Rt△PAB中，由勾股定理得　AB2= BP2－AP2=3，　∴ AD==3．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过
点D.
（1）求证： BC是⊙O切线；
（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长.
7.（1）证明: 如