人教版九年级暑假专题-相似三角形.zip

暑假专题——相似三角形
重点、难点：
1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。
2. 通过相似三角形性质复****丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。
【知识纵横】
1. 相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。
议一议：
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
2. 相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明：相似比要注意顺序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比，而△A'B'C'∽△ABC的相似比，这时。
3. 相似三角形的识别
（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
【典型例题】
例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（ ）对。
答：4对
例2. 如图，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似？
如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。
解：

例3. （2004·广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。
（1）求证：△CDE∽△FAE；
（2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。
命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。
解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
∴△CDE∽△FAE
，又E为AD中点
∴DE＝AE，从而CD＝FA，结合已知条件，易证
BF＝BC，∠F＝∠BCF
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
∴△CDE∽△FAE
（2）∵E是AD中点，∴DE＝AE
由（1）得：
∴CD＝AF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD
∴AB＝CD＝AF
∴BF＝2CD，又BC＝2CD
∴BC＝BF
∴∠F＝∠BCF
思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。
例4. 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动，
（1）是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP；
（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少？
解：（1）存在
（2）若△ADP∽△BCP，则
设

或
或
或
∴AP长度为4或6
例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（ ）
A. 4：10：25 B. 4：9：25
C. 2：3：5 D. 2：5：25
（2001年黑龙江省中考题）
思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。
∴选A
例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。
思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。
解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4
而CD×AB＝AC×BC＝，得
又△CEH∽△CAB，得
于是，解