北师大版数学八年级上册知识点梳理.pdf

更多资料加张老师微信：10784702
第一章 勾股定理
【要点梳理】
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（1）勾股定理成立的前提条件是“在角三角形中”，在锐角三角形和钝角三角形中不存
在这个结论；（微信：10784702）
c
（2）勾：直角三角形较短的直角边，股：直角三角形较长的直角边，弦：斜边；a
2 2 2 b
（3）如果 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 c  a  b ；
（4）勾股定理的定义主要用于求线段的长度、探索线段长度之间的关系.
2．勾股定理的验证
（1）拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般遵循以下步骤：①拼出图形②写出图形面
积的表达式③找出等量关系④恒等变形⑤推导出勾股定理.
（2）拼图法的应用遵循原则：图形割补、拼接前后不重叠、无间隙.
验证方法 验证过程 图例
用方格纸 如右图中，正方形 A 中含有 4 个小方格，即 SA=4 个单位
验证 面积.正方形 B 中含有 4 个小方格，即 SB=4 个单位面积.正
方 形 C 中 含 有 8 个 小 方 格 ， 即 SC=8 个 单 位 面 积 . 故
SC=SA+SB，所以在直角三角形中，两直角边的平方和等于
斜边的平方.
法 1：如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以（b-a）
为边长的小正方形和一个以 c 为边长的大正方形.因为大正
方形的边长为 c，所以面积为 c2.又因为大正方形被分割为
4 个全等的直角边长分别为 a,b 的直角三角形和一个边长为
用四个全
1 2
等的直角 （b-a）的小正方形，所以其面积为 4 ab  (b  a) .
2
1
三角形拼 所以 c2  4 ab  (b  a)2 ,整理得 c2  a2  b2
2
图验证
法 2：如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以 c
为边长的小正方形和一个以（a+b）为边长的大正方形.因
为大正方形的边长为（a+b），所以面积为（a+b）2，又因
为大正方形被分割为 4 个全等的直角边长分别为 a,b 的直
1
更多资料加张老师微信：10784702
角三角形和一个边长为 c 的小正方形，所以其面积为
1 2 1
4 ab  c2 ， 所 以（a+b）=4 ab  c 2 整 理 得
2 2
c2=a2+b2
用两个全 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，