人教高三北京市1月各区期末理数试题分类汇编立体几何.zip

2013年北京市1月重点城区期末理数试题分类汇编立体几何（教师版）
（2013·石景山1月·16）如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
A
B
C
D
E
图1
图2
A1
B
C
D
E
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
16．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明： 在△中，
.又.
由
. …………………………4分
A1
B
C
D
E
x
z
y
（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分
．
设为平面的一个法向量，
因为
所以，
令，得.
所以为平面的一个法向量． ……………………7分
设与平面所成角为．
则．
所以与平面所成角的正弦值为． …………………9分
（Ⅲ）设,则
…………………12分
当时, 的最小值是．
即为中点时, 的长度最小,最小值为． …………………14分
（2013·西城1月期末理科·16）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面， 为棱的中点．
（Ⅰ）求证：// 平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．
因为四边形为正方形，所以为中点．
因为 为棱中点．
所以 ． ………………3分
因为 平面，平面，
所以直线//平面． ………………4分
（Ⅱ）证明：因为平面，所以． ………………5分
因为四边形为正方形，所以，
所以平面． ………………7分
所以平面平面． ………………8分
（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．
因为平面平面，所以平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………9分
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………11分
易知平面的法向量为． ………………12分
所以 ． ………………13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． ………………14分
解法二：取中点，中点，连结，．
因为为正方形，所以．
由（Ⅱ）可得平面．
因为，所以．
由两两垂直，建立如图所示
的空间直角坐标系． ………………9分
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………11分
易知平