人教版数学考点17 二次函数综合题 （解析版）.docx

考点十七 二次函数综合题
【命题趋势】
在中考中，二次函数综合题每年必考点，特别是跟几何结合，经常在压轴题中出现。
【中考考查重点】
线段问题
面积问题
等腰、直角三角形问题
特殊四边形问题
相似三角形问题
与角度有关问题
考点一：线段问题
1．（2021秋•龙沙区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D，连接BC，P为线段BC上的一个动点（P不与B、C重合），过点P作PF∥y轴，交抛物线于点F，交x轴于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PG＝2PF时，求点P的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）P（，）
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则F（t，﹣t2+2t+3），G（t，0），
∴PG＝﹣t+3，PF＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∵PG＝2PF，
∴﹣t+3＝﹣2t2+6t，
∴t＝或t＝3（舍），
∴P（，）；
考点二：面积问题
2．（2021秋•梅里斯区期末节选）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）探究：在抛物线上直线AB下方是否存在一点P，使△ABP面积最大？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】（1） y＝x2﹣x﹣2 ，（，﹣）（2）P（2，﹣3）
【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0）、B（0，﹣2），
将A、B、C点坐标分别代入二次函数解析式y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣2，
化成顶点式为：y＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）；
（2）存在，理由如下：
设P点坐标为（x，x2﹣x﹣2）（0＜x＜4），
过点P作PD⊥AC于点D，交AB于点E，则E的坐标表示为（x，x﹣2），
∴S△ABP＝
＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）
＝﹣x2+4x
＝﹣（x﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝2时S△ABP有最大值，求得P（2，﹣3）；
考点三： 等腰、直角三角形问题
3．（2021秋•龙凤区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】（1） （2） F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）
（3）Q1（0，﹣4）或或或Q4（0，0）．
【解答】解：（1）将A（2，0）、B（﹣8，0）代入解析式，得
，解得：，
∴．
（2）当x＝0时，y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8，
设，
如图1，作FG垂直于x轴交BC于G，则G（n，﹣n﹣8），
∴，
∵＝4FG，
∴当FG取得最大值时，S△BCF取得最大值，
∴当时，FG取得最大值8，S△BCF取得最大值32，
∴F（﹣4，﹣12），
作F关于对称轴对称的点F'，
∴F'（﹣2，﹣12），
当F'、B、P共线时，PB+PF有最小值，此时C△BFP有最小值，
设yBF'＝ax+b，则
，解得：，
∴yBF'＝﹣2x﹣16，
又∵xp＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣10），
综上所述，F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）.
（3）存在，理由如下，
①如图2，以BF为底边时，点Q1在BF的中垂线上，
∴BF的中垂线与y轴交点即为所求，
连接BQ1，FQ1，作FN垂直于y轴，
∵Q1B＝Q1F，
设OQ1＝t，则Q1N＝12﹣t，
∵FN＝4，BO＝8，，
∴42+（12﹣t）2＝82+t2，
解得：t＝4，
∴Q1（0，﹣4）；
②以BF为腰时，，
（i）当BF＝