人教版专题54：第12章压轴题之猜想证明类-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

54第12章压轴题之猜想证明类
一、单选题
1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，点D，E关于CB对称，连接EB并延长，与AD的延长线交于点F，连接DE，CE．对于以下结论：
①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．
其中正确的是(　　)
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】根据点D，E关于CB对称，可得CB垂直平分DE，即可判断①错误；根据CB垂直平分DE，连接BD，可得BD=BE，证明△ACD≌△BCD，可得AD=BD，即可判断②；结合①②证明△ACD≌△BCD≌△BCE，可得∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，∠FED=67.5°-45°=22.5°，进而证明角F的度数，即可判断③；在Rt△FDE中，根据勾股定理，得EF2+DF2=DE2，根据∠DCE=90°，CD=CE，即可判断④．
【解答】①∵点D、E关于CB对称，
∴CB垂直平分DE，
所以①错误；
②连接BD，如图，
∵CB垂直平分DE，
∴BD=BE，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD(SAS)，
∴AD=BD，
∴AD=BE，
所以②正确；
③∵CB垂直平分DE，
∴BD=BE，CD=CE，
在△BCD和△BCE中，
，
∴△BCD≌△BCE(SSS)，
∴△ACD≌△BCD≌△BCE，
∴∠ACD=∠DCB=∠ECB=45°，
∴CA=CD=CB=CE，
∴∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，
∵∠CED=∠CDE=(180°-∠DCB-∠ECB) =45°，
∴∠FED=67.5°-45°=22.5°，
∵∠CDE=∠ACD=45°，
∴DE∥AC，
∴∠FDE=∠A=67.5°，
∴∠F=180°-∠FDE-∠FED=90°，
所以③错误；
④在Rt△FDE中，根据勾股定理，得：
EF2+DF2=DE2，
∵∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°，CD=CE，
∴DE2=CD2+CE2=2CD2，
∴EF2+DF2=2CD2，
所以④正确．
综上所述：正确的是②④．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
2．如图，过的对角线上一点作分别交于点分别交于点，那么图中四边形的面积与四边形的面积的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】先证四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形得S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，据此可得．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
又MN∥BC，PQ∥AB，
∴四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形，
∴S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，
∴S1＝S2，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及对角线将平行四边形面积平分的性质．
3．已知的三条边长分别为6，8，12，过任一顶点画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】B
【分析】不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，则可得三条，再分以AB、AC为腰和底进行讨论，可得出结论．
【解答】解：不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，
如图1，则BD=AD，EA=EC，FB=FC，可知AE、BF、AD满足条件；
当AB为腰时，以点A为圆心，AB为半径画圆，分别交BC、AC于点G、H，
以B为圆心，AB为半径，交BC于点J，如图2，则AB=AG，AB=AH，BA=BJ，满足条件；
当AC为腰时，如图3，以点C为圆心，CA为半径画圆，交BC于点M，则CA=CM，满足条件；
当A为圆心AC为半径画圆时，与AB、BC都没有交点，
因为BC为最长的边，所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形，
综上可知满足条件的直线共有7条.
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，利用垂直平分线的性质及圆的基本性质找到满足条件的直线是解题的关键．
4．如图，在中，，，直角的顶点是中点，、分别交、