人教版初中数学专题01 有理数的运算（解析版）.docx

专题01有理数的运算
一、有理数的概念
1．有理数的概念：整数和分数统称有理数
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
2.有理数大小的比较
（1）正数的绝对值越大，这个数越大；
（2）正数永远比0大，负数永远比0小；
（3）正数大于一切负数；
（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
二、有理数的运算
1．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；
（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
3.有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.
4.有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
5．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.
6．有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n ,
当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
7.有理数混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.
三、相反数、绝对值和倒数的概念
1．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；
(2)相反数的和为0 Û a+b=0 Û a、b互为相反数.
2.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；
3.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；
若ab=1Û a、b互为倒数；若ab=-1Û a、b互为负倒数.
四、乘方
1．乘方的定义
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
2．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.
3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
4.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
【例题1】（2020•新疆）下列各数中，是负数的为（　　）
A．﹣1 B．0 C．0.2 D．12
【答案】A
【解析】利用正数与负数的定义判断即可．
﹣1是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；12是正数．
【对点练****下列各数中，不是负数的是（　　）
A．−2 B．3 C． − D．−0.10
【答案】B
【解析】利用负数的定义判断即可得到结果．
A.−2是负数，故本选项不符合题意；
B.3是正数，不是负数，故本选项符合题意；
C.−是负数，故本选项不符合题意；
D.−0.10是负数，故本选项不符合题意。
【例题2】（2020•成都）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．12
【答案】C
【解析】利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
﹣2的绝对值为2．
【对点练****2019•广东省广州市）|﹣6|＝（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【答案】B．
【解析】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．
【例题3】（2020•济宁）-72的相反数是（　　）
A．-72 B．-27 C．27 D．72
【答案】D
【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
-72的相反数是：72．