人教版初中数学专题28 锐角三角函数（解析版）.docx

专题28 锐角三角函数
知识点一：锐角三角函数
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°




2.同角三角函数的关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：

（3）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，

，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
特殊角的三角函数值
α
sinα
Cosα
tanα
cotα
0°
0
1
0
不存在
30°
45°
1
1
60°
90°
1
0
不存在
0
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知识点二：解直角三角形
1.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
结论：直角三角形斜边上的高
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、cosA、tgA、cotA表示直角三角形两边的比，并且要熟记0°、30°、45°、60°、90°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件
一般解法
两边
两直角边a，b
(1)；
(2)由求出∠A；
(3)∠B=90°−∠A.
一直角边a，斜边c
(1)；
(2)由求出∠A；
(3)∠B=90°−∠A.
一边一锐角
一直角边a，锐角A
(1)∠B=90°−∠A；
(2)；
(3).
斜边c，锐角A
(1)∠B=90°−∠A；
(2)a=c·sin A；
(3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
【例题1】（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）
A．26 B．2626 C．2613 D．1313
【答案】B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求