人教版初中数学第7关 以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题（解析版）.docx

第七关 以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题
【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。②旋转，平移的性质.
【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法,旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换. 变换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系起来．在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路．一些难度较大的问题借助平移、对称、旋转的合成及相互关系可能会更容易一些．
【典型例题】
【例1】（2019·河北中考模拟）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．
（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．
①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．
（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．
【答案】（1）①四边形BHMM′的面积为7.5；②△DNM周长的最小值为9；（2）CP的长为或．
【解析】
【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；
（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．
【详解】（1）①在▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，
∴DE=FH=3，
又BF：FA=1：5，
∴AH=2，
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴，
即，
∴HM=1.5，
根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，
四边形BHMM′的面积==7.5；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，
∵直线EF垂直平分CD，
∴CN=DN，
∵MH=1.5，
∴DM=2.5，
在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，
∴MC2=62+（2.5）2，
即MC=6.5，
∵MN+DN=MN+CN=MC，
∴△DNM周长的最小值为9；
（2）∵BF∥CE，
∴，
∴QF=2，
∴PK=PK'=6，
过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，
当点P在线段CE上时，
在Rt△PK'E'中，
PE'2=PK'2﹣E'K'2，
∴PE′=2，
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，
∴，
即，
解得：QF′=，
∴PE=PE'﹣EE'=，
∴CP=，
同理可得，当点P在线段DE上时，CP′=，，如图4，
综上所述，CP的长为或．
【名师点睛】
本题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析．
【例2】（2019·湖南中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，①求证：BP=BF；
②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；
③当BP=9时，求BE•EF的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②；③108.
【解析】
分析：（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可