人教版初中数学专题六 函数的实际应用问题(解析版).docx

专题六　函数的实际应用问题
类型1　方案与最值问题
1．江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
解析：(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：.答：略．
(2)设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有(10－m)台，根据题意得：w＝300×2m＋200×2(10－m)＝200m＋4000.∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∴解得：5≤m≤7，∴有三种不同方案．∵w＝200m＋4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m＝5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．
2．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，∴当x＝25时，占地面积最大，即饲养室长x为25 m时，占地面积y最大；
(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，∴当x＝26时，占地面积最大，即饲养室长x为26 m时，占地面积
y最大；∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．
3．(2017·河南)学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个)．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
解：(1)设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据题意得：，解得：.
答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．
(2)设购进A种魔方m个(0≤m≤50)，总价格为w元，则购进B种魔方(100－m)个，根据题意得：w活动一＝20m×0.8＋15(100－m)×0.4＝10m＋600；w活动二＝20m＋15(100－m－m)＝－10m＋1500.当w活动一＜w活动二时，有10m＋600＜－10m＋1500，解得：m＜45；当w活动一＝w活动二时，解得：m＝45；当w活动一＞w活动二时，解得：45＜m≤50.综上所述：当45＜m≤50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m＝45时，选择两种活动费用相同；当m