人教第29节 椭圆（解析版）.docx

第29节 椭圆
基础知识要夯实
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
基本技能要落实
考点一　椭圆的定义及其应用
【例1】1.(2022·保定模拟)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.
【答案】＋＝1
【解析】设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，
则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.
所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|＝6，
即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，
得点P的轨迹方程为＋＝1.
2.椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为
M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长为________.
【答案】2＋2
【解析】由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，所以OM∥PF2，ON∥PF1，所以四边形OMPN为平行四边形，且|OM|＝|PF2|，|ON|＝|PF1|，所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以a＝，又知a2＝b2＋c2，b2＝1.
所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2.
3.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.
【答案】
【解析】由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
【答案】6＋　6－
【解析】椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
【方法技巧】
1.椭圆定义的