人教版高中数学第7节 离散型随机变量及其分布列和数字特征.doc

第7节　离散型随机变量及其分布列和数字特征
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　　)
(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　)
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
解析　对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.
2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件；
选项D是确定的值2，并不随机；
选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
3.(易错题)若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2] B.[1，2]
C.(1，2] D.(1，2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列知
P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
4.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
答案　B
解析　X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，标准差为.
A选项的方差D(X)＝0.65；
B选项的方差D(X)＝1.85；
C选项的方差D(X)＝1.05；
D选项的方差D(X)＝1.45.
可知选项B的情形对应样本的标准差最大.
5.(2022·郴州检测)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
m
则P(|X－3|＝1)＝________.
答案　
解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
6.(2021·浙江卷)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________；E(ξ)＝___