人教版高中数学10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（提升版）（解析版）.docx

10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 平面向量的基本定理
【例1】（2022·广东·高三开学考试）在中，已知，，与交于，则（       ）
A．        B．        C．        D．
【答案】C
【解析】如图，过作直线交于，因为，
所以，因为，所以设，则，
所以，因为，所以，
所以.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在平行四边形中，点、分别满足，，
所以，，
所以．
故选：A
2．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得
因为点是的中点，所以
由三点共线知，存在实数，满足，
由三点共线知，存在实数，满足，
所以，又因为为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，即，
所以，故A不正确；，故B正确；D不正确；
，故C不正确.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练****多选）在中，为中点，且，则（       ）
A． B．
C．∥ D．
【答案】BC
【解析】因为，则三点共线，且，
又因为为中线，所以点为的重心，
连接并延长交于，则为的中点，
所以，
所以∥
故选：BC．
考点二 平面向量中的共线问题
【例2-1】（2022·全国·高三专题练****已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为O，A，B三点共线，则
所以，，即
整理得：
又∵向量，不共线，则，则
故选：A．
【例2-2】（2023·全国·高三专题练****已知，若M、P、Q三点共线，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．－1
【答案】A
【解析】∵M、P、Q三点共线，则与共线，
∴，即，得，解得.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练****在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（       ）
A． B． C．6 D．12
【答案】D
【解析】，
，
三点共线，
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值是12.
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练****已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.
【答案】3
【解析】
如图，设F为BC的中点，则，又，，
则，又G，D，E三点共线，∴，即.
故答案为：3.
3．（2023·全国·高三专题练****已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.
【答案】
【解析】因为与共线，可设，
即，因为，不共线，所以，所以.
故答案为：
考点三 最值
【例3】2（2022·北京·高三开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示
由图像可知，与夹角的范围为，
所以,
所以.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·浙江）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在圆外，则且，又，
所以，
又三点共线，
所以，，而，所以．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练****已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
，设，则，由得：，
令，即，
，其中锐角满足，
因此，当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练****在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，
又由，
可得，所以，
同理可得，所以为的垂心，