人教版高中数学第4讲　二次函数与幂函数.doc

第4讲　二次函数与幂函数
一、知识梳理
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
常用结论
1．巧识幂函数的图象和性质
2．记牢一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
二、教材衍化
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________．
解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.
答案：
2．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________．
解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．
所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.
所以g(x)的值域为[－1，3]．
答案：[－1，3]
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)幂函数定义不清晰，导致出错；
(2)二次函数的性质理解不到位出错；
(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错．
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．
解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x－，由性质可知函数y＝x－在(0，＋∞)上递减．
答案：y＝x－　(0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：
考点一　幂函数的图象及性质(基础型)
复****指导通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
核心素养：数学抽象
1．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
解析：选A．设f(x)＝xα，由已知得＝，解得α＝－1，
因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．
2．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b<a<c B．a<b<c
C．c<b<a D．c<a<b
解析：选C．因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C．
3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况