人教版高中数学3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）（解析版）.docx

3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 幂函数及性质
【例1-1】（2022·全国·高三专题练****幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（       ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
【答案】B
【解析】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴，且为偶数或
当时，满足条件；当时，，舍去因此：m＝1故选：B
【例1-2】（2022·全国·高三专题练****幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（       ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
【答案】A
【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，解得，
又，所以或，
当时，定义域为，且，所以是偶函数，满足题意；
当时，定义域为，而，所以是奇函数，不满足题意，舍去；综上，.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（       ）
A．函数是偶函数 B．函数是增函数
C．当时， D．当时，
【答案】BCD
【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，则，
所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；
又，所以是增函数，故B正确；
因此当时，，故C正确；
当时，因为，，
则
，所以，故D正确.故选：BCD.
2．（2022·全国·高三专题练****多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【解析】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.易见，故函数是单调递增的奇函数.
由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.综上可知，，且或或.故选：BC.
3．（2022·全国·高三专题练****理））已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．
【答案】
【解析】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，
又，即，的图像关于轴对称，
即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：.
4．（2022·上海·高三专题练****已知函数为幂函数，且为奇函数，则实数a的值_____．
【答案】1
【解析】因为函数为幂函数，所以或.
当时，为偶函数，不符合题意，所以舍去；当时，为奇函数，符合题意.
故答案为：1
考点二 一元二次函数
【例2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练****若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象如图所示，
因为当或时，；当时，，
因为函数的定义域为，所以．故选：C．
【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知，则函数在上是增函数的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设对称轴为，而，函数开口向上，
所以的增区间为，故在上是增函数有，综上，对应可行域如下阴影部分：
所以阴影部分面积为，而的面积为1，故在上是增函数的概率为.故选：D
【例2-3】（2022·全国·高三专题练****多选）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BC
【解析】函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.故选： BC.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】由，，成等差数列，可得，
所以，
所以二次函数的图象与轴交点的个数为1或2.故选：D.
2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，
因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为，故选：B
3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【