人教版高中数学第5节 古典概型、概率的基本性质.doc

第5节　古典概型、概率的基本性质
考试要求　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.
1.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　)
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)
(4)概率为0的事件一定是不可能事件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个样本点，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.
2.(易错题)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝＝.
3.(2022·九江一模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的样本点数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率
P＝＝.
4.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有C＝10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选A.
5.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　法一　4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A种排法，再将0A，0B插空有A种排法，所以2个0不相邻的概率P＝＝.
法二　将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排法，其中将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法.所以2个0不相邻的概率P＝＝.
6.(易错题)抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.
答案　　
解析　抛掷一枚骰子，样本空间出现的点数是{1，2，3，4，5，6}，
事件A∪B包括出现的点数是{1，3，5，6}这4个样本点，故P(A∪B)＝