人教版高中数学第6讲　高效演练分层突破4.doc

[基础题组练]
1．(2019·高考北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　)
A． 　　　　　　　 B．4
C．2 D．
解析：选D．由双曲线方程－y2＝1，
得b2＝1，
所以c2＝a2＋1.
所以5＝e2＝＝＝1＋.
结合a＞0，解得a＝.
故选D．
2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B．由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B．
3．设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．10 B．8
C．8 D．16
解析：选C．依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8× ＝8.
4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选C．设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x，故选C．
5．(多选)(2021·预测)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其中一条渐近线上的一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
解析：选ACD．等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选ACD．
6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
解析：因为双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，所以9－＝1(b＞0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
7．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点P(1，)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为________，其离心率为________．
解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，点P(1，)在渐近线上，所以＝.在Rt△OPF中，|OP|＝＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.又c2＝a2＋b2，所以b＝2，a＝2，所以双曲线C的方程为－＝1，离心率e＝