人教高中数学第25讲 三角函数的图像与性质（解析版）.docx

第25讲 三角函数的图像与性质
【基础知识网络图】
应用
三角函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质
余弦函数的
图象与性质
正切函数的
图象与性质
【基础知识全通关】
一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
,奇函数
，偶函数
，奇函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
二、函数的图象与性质
1．函数的图象的画法
（1）变换作图法
由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.

（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；
②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.
2．函数（A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .
（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
3．函数（A>0,ω>0）的物理意义
当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.
（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.
（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．
（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．
（5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式
来确定．
【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．
（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.
【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.
【考点研****一点通】
1、定义域和值域
（1） （2）
（3） （4）
【点拨】（1）（4）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求出函数的最大值及最小值，注意自变量的取值范围. （2）根据角的范围得出sinx的范围，运用换元配方后求出y的最大值及最小值，进而得出函数的值域．（3）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；
【解析】（1）∵，
∴，
当，即时，；当，即时，，
∴.
（2），
令：，则
∵为增函数；
∴.
（3）根据可知，
故函数的值域为.
（4），
由知，由正弦函数的单调性可知，
故函数的值域为.
【总结】①形如或，可根据的有界性来求最值；②形如或可看成关于的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中；③形如可化为（其中）的形式来确定最值.
【变式1-2】 已知函数的定义域是，值域是，求常数．
【解析】
∵，∴， ∴，
若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：，
若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：， 所以，或．
考点02奇偶性、周期性、单调性
2、已知函数，则，，的大小关系为 .
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以，
又时，
所以函数在上单调递增..
所以
【变式2-1】已知函数若是偶函数，则 .
【答案】
【解析