人教高中数学专题4-3 三角函数与解三角形典型大题归类(解析版）.docx

专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类
目录
专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类 1
1
题型一：三角形中线问题 1
1、向量化(三角形中线问题） 4
题型二：三角形角平分线问题 9
核心技巧2：等面积法(使用频率最高） 13
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题） 22
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） 25
题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题） 28
题型五：四边形问题 38
. 46
题型一：三角形中线问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北张家口·高三期中）已知的内角，，的对边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若边上中线长为，，求的面积．
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）由题知，，
所以由正弦定理得，
因为在三角形中，
所以，
因为，
所以，
所以或
（2）由（1）得或
因为边上中线长为，，
设中点为,
所以,
所以，即，
所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以
，或
例题2．（2022·广东·广州市协和中学高一期中）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(1)
；
令，解得：，
的单调递增区间为.
(2)
由（1）知：，即，
又，，，解得：；
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，即，
；
在中，由余弦定理得：，解得：；
，，
的周长为.
【提分秘籍】
1、向量化(三角形中线问题）
如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）
2、角互补
【变式演练】
1．（2022·北京市十一学校高三阶段练****中，已知．
(1)求；
(2)记边上的中线为．求和的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，
，
,
由于，所以.
（2）由三角形的面积公式得，
由余弦定理得.
由两边平方并化简得：
，
所以.
2．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练****理））已知中，内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若边上的中线长为，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知得：，
由正弦定理可化为：，即，
由余弦定理知，
又，故．
（2）
设边上的中线为，则
所以，即，
所以，即①
又，由余弦定理得，即②
由①②得，
所以．
3．（2022·广东广雅中学高三阶段练****在中，边上的中线长为.
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
（1）
因为，
由正弦定理得,所以，
又因为，所以.
（2）
记的中点为，则，设，
因为，即，
由余弦定理可得，
即，
所以，所以，
所以，则，
所以.
4．（2022·全国·高三专题练****在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
【答案】(1)；
(2).
（1）
由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
（2）
由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
题型二：三角形角平分线问题
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁沈阳·高一期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，的内角平分线交边于点D，求．
【答案】(1)
(2)
(1)
∵
由正弦定理得
∵，∴
∴，∴
∴    ∵    
∴
(2)
方法一：∵
∴
∴
∴
∴
方法二：在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵，
∴
∴
∴
方法三：在△ABC中，由余弦定理：
∴
在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵，
∴
∴