人教高中数学专题13 平面向量的线性运算及坐标表示(解析版).docx

专题13 平面向量的线性运算及坐标表示
【考纲要求】
1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
2、理解向量的几何表示，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
3、掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.
一、平面向量的概念
【思维导图】
【考点总结】
一、向量及其几何表示
1.向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.
(2)向量可以用有向线段表示.向量的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.
二、向量的有关概念
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作a∥b
规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量a与b相等，记作a＝b
二、平面向量的线性运算
【思维导图】
【考点总结】
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任一向量a，规定＝a＋0＝a.
2.向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作A＝a，B＝b，则向量A叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋B＝A
平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作A＝a，A＝b，以A，A为邻边作▱ABCD，
则对角线上的向量A＝a＋b.
二、相反向量
1.定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量.
2.性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量.
　(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
三、向量的减法
1.定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图2­2­11所示.
图2­2­11
3.几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
四、向量的数乘运算
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
3.运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有
(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
三、平面向量基本定理及坐标表示
【考点总结】
1．平面向量的基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标；
②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则点A坐标为(x，y)，反之亦成立(O为坐标原点)．
2．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘
设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量坐标的求法
设O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1，y1)，
＝(x2－x1，y2－y1)
3.向量共线的坐标表示