人教专题13解析几何 13.4双曲线 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.4 双曲线
知识梳理.双曲线
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝＝ ∈(1，＋∞)
e是表示双曲线开
口大小的一个量，
e越大开口越大.
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2
题型一. 双曲线及其性质
1．过双曲线x24−y23=1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为　8　．
【解答】解：根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|＝2a，|NF2|﹣|NF|＝2a，
两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|＝4a＝8．
答案：8．
2．设双曲线C：x28−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（　　）
A．82 B．8 C．42 D．4
【解答】解：如图，由双曲线方程可得a=22．
由双曲线的定义可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝42，
|F1N|﹣|F2N|＝2a＝42，
∴|F2M|＝|F1M|+42，|F1N|＝|F2N|+42，
∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|＝|F2N|，
∴|F1N|＝|F1M|+82，
∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝82．
故选：A．
3．过双曲线C：x2a2−y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是　x2−y23=1　．
【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），
由x＝a和一条渐近线y=bax，可得A（a，b），
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），
则|AF|＝|OF|＝c＝2，
即有(a−c)2+b2=2，
c2＝a2+b2＝4，
解得a＝1，b=3，
即有双曲线的方程为x2−y23=1，
故答案为：x2−y23=1．
4．P是双曲线x29−y216=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为　9　．
【解答】解：双曲线x29−y216=1中，
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1（﹣5，0），F2（5，0），
∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，
∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，
∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，
所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|
＝6+1+2
＝9．
故答案为：9．
5．已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，66）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　126　．
【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为x−3+y66=1与x2−y28=1联立可得y2+66y﹣96＝0，
∴P的纵坐标为26，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×66−12×6×26=126．
故答案为：126．
题型二. 焦点三角形
1．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为　92　．
【解答】解