人教高中数学专题21 必要性探路(端点效应)(解析版).docx

专题21 必要性探路(端点效应)
含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有:①分离参数＋函数最值;②直接化为最值＋分类讨论.
但当问题具有区间端点（定义域内一点）的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这一显著特征时，应运用“零点、端点效应”.
其具体方法是：先在定义域内取这个特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，显然这个取值范围是不等式恒成立的一个必要条件，这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性. 接下来在这个条件下继续求解，然而有趣的是在后面的解答中我们发现求出的这个范围恰好是不等式恒成立的充分条件，也就是说赋值法求出的参数取值范围有时恰好是题目所求的取值范围.
必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下：
1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路：
(1)若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即
此法应用于区间端点值包含参数的情况.
(2)若在上恒成立，且
则此法应用于区间端点的函数值为零的情况.
(3)若在上恒成立，且，
则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.
(4)若在上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况.
(5)若在上恒成立，则，此法应用于区间端点值包含参数的情况.
2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；
（1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；
（2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.
若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技巧包括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如
等）.
1．是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.
【解析】易知对一切恒成立，当可得，则仅可取1、2
下证时不等式恒成立，设
在单调递减，单调递增，
当时，不等式恒成立，所以最大为2.
2．求k的最大整数值.
【解析】令，显然
因此的最大整数值可能是4，下证时恒成立
由即
所以
3．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，，（1），（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
当时，，当时，，
曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（2）方法五：等价于，该不等式恒成立．
当时，有，其中．
设（a），则（a），
则（a）单调递增，且（1）．
所以若成立，则必有．
下面证明当时，成立．
设，，
在单调递减，在单调递增，，，即，
把换成得到，，．
，当时等号成立．
综上，．
4．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若，且在时恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），
①当时，恒成立，即函数在递减；
②当时，令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意，即当时在时恒成立，
即在时恒成立．
记，则（1），
记（a），在递增，又（1），
所以（1）时，．
下面证明：当时，在时恒成立．
因为．
所以只需证在时恒成立．
记，所以，
又，所以在单调递增，又（1）
所以，，单调递减；，，单调递增，
所以（1），在恒成立．
综上可知，时，在时恒成立．
5．已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
【解析】（1）令，即，则，
函数与有公共点，即有解.
令，则.令，
当时，，所以，当时，，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以且当时，，所以.
（2）不等式恒成立，即恒成立.
则时，成立，解得，
由题意求满足条件的整数最小值，下面验证是否满足题意.
当时，令，且在上单调递增.
又，可知存在唯一的正数，使得，即，
则在上单调递减，在上单调递增.所以，
即当时，不等式成立.故整数的最小值为
6．已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
【解析】（1）设，，则．
因为，且
则在，单调递减，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在上单调递减
又，
所以在上恒成立上，所以在单调递增
则，即，所以．
（2）因为对任意的，
即恒成立，令，则，
由（1）知，所以
由于为整数，则
因此
下面证明，在区间上恒成立即可