人教专题06 导数 6.2导数与函数的单调性 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题六 《导数》讲义
6.2利用导数求函数的单调性
知识梳理.利用导数求函数的单调性
函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；
如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
题型一. 求函数的单调区间
1．函数f（x）＝（x﹣2）ex的单调递增区间为（　　）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（1，2）
【解答】解：函数f（x）＝（x﹣2）ex，
则f′（x）＝（x﹣1）ex，
令f′（x）＞0，解得x＞1，
故函数f（x）＝（x﹣2）ex的单调递增区间为（1，+∞），
故选：A．
2．函数y＝x+3x+2lnx的单调递减区间是（　　）
A．（﹣3，1） B．（0，1） C．（﹣1，3） D．（0，3）
【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），
y′＝1−3x2+2x=(x+3)(x−1)x2，
令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故函数在（0，1）递减，
故选：B．
3．确定函数f（x）＝cos2x+4cosx，x∈（0，2π）的单调区间．
【解答】解：函数的导数f'（x）＝﹣2sin2x﹣4sinx＝﹣4sinx（cosx+1），
令f'（x）＞0，sinx＜0，
又x∈（0，2π），所以π＜x＜2π；
令f'（x）＜0，sinx＞0，
又x∈（0，2π），所以0＜x＜π．
故f（x）的单调增区间为（π，2π），单调减区间为（0，π）．
题型二.讨论函数的单调性——大题第一问
考点1.导后一次型
1．已知函数f（x）＝ex﹣kx．
（1）讨论函数y＝f（x）的单调区间；
【解答】解：（1）f′（x）＝ex﹣k，
①当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，则y＝f（x）在R上单调递增，
②当k＞0时，x＞lnk时，f′（x）＞0，y＝f（x）的递增区间是（lnk，+∞），
x＜lnk时，f′（x）＜0，y＝f（x）的递减区间是（﹣∞，lnk）；
综上：当k≤0时，f（x）在R上单调递增，
当k＞0时，f（x）的递增区间是（lnk，+∞），f（x）的递减区间是（﹣∞，lnk）．
2．已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）．
（2）求f（x）的单调区间；
【解答】解：（2）由（1）可得f′（x）＝1−1x+1=xx+1，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
故f（x）的单调递减区间为（﹣1，0），单调递增区间为（0，+∞）．
考点2.导后二次型
1．（2017·全国1）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，
∵e2x＞0，ex＞0
∴当a≤0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在R上单调递减，
当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex+12）（ex−1a），
令f′（x）＝0，解得：x＝ln1a，
当f′（x）＞0，解得：x＞ln1a，
当f′（x）＜0，解得：x＜ln1a，
∴x∈（﹣∞，ln1a）时，f（