人教高中数学微专题10 导数解答题之零点问题（解析版）.docx

微专题10导数解答题之零点问题
【秒杀总结】
1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【典型例题】
例1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)当时，讨论函数的零点情况.
【解析】（1）因为，所以，
当，即时，，则为单调递增函数，不可能有极值，舍去；
当，即时，令，解得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在取得极大值，符合题意；
综上：，故实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
令，则，
（i）当时，，则单调递减，即单调递减，
注意到，，
所以存在唯一的使，
且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
注意到，，，则，
所以在和上各有一个零点；
（ii）当时，，故，
令，则，
所以在上单调递减，故，
所以，故在上无零点；
（iii）当时，，则，
令，则，所以在上单调递减，
又，故，
所以，故在上无零点；
综上：在和上各有一个零点，共有两个零点.
例2．（2023春·全国·高三竞赛）已知函数．设为的导函数．
(1)证明：有且仅有一个极值点；
(2)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由．
【解析】（1）证明：因为，所以
设，，
所以，其中恒成立，
令，，
则，
因为，所以，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增；
又，，，
所以，使得 ，即，
故对于有，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点.
（2）的所有零点之和大于，理由如下：
函数，其导函数，，使得当时，单调递增，当时，函数单调递减，
又，
所以，
因为，所以，所以，
又，
故，使得，，使得，于是可得：
当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，故，
则，所以存在使得，
所以，又，所以，则存在使得，
又，所以函数在区间上无零点；
故函数在上有两个零点，且，
由可得：
，所以，
又，
所以，
根据，可得：，，
并且函数在上单调递减，所以，即，
故的两个零点之和大于.
例3．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的零点个数.
【解析】（1）因为，所以，
令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
所以切线的斜率为，
又切点为，所以切线方程为，即.
（2）令，则，该式等价于或，
当时，有，
令，，则的解的个数即为与的交点个数，
易知开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
而在上单调递增，，所以在上单调递减，且
，
作出与的图像，如图，
所以与的交点只有一个，且为，故只有一个解；
当时，因为当时，该式不成立，所以，
令，则，
令，则，
令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以在上单调递增，
因为，
所以存在，使得，则在上，在上，
所以在上，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递减，在上调递增，
因为，所以，即，
所以，
因为在上单调递增，，
所以，故，
又因为，所以方程无解，即方程无解，故无解；
综上：当时，与只有一个解，即只有一个零点.
例4．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知函数是的导函数．
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，判断关于的方程在内实数解的个数，并说明理由．
【解析】（1）由题意在上恒成立，得 ，
即恒成立，令，则 ，
当时，，
令，即，则，
得，
令，即，
或得 或，
所以在和为减函数，在上为增函数，
，，故，
故，即，
综上 ，实数的取值范围 .
（2）由题意，
,
由，得 ，
令 ， 令，
,令
在上单调递减,
注意到,
∴存在,使，
且当时， ， 单调递增,
当时，，单调递减,
且 ,
,
所以在和上各有一个零点，
设为，且当时，单调递减；时，单调递增，
当时，单调递减
且 ，
∴当时， ，