高一数学 北师大版 必修 第一册 §1 3.1　不等式的性质（学案+课件+课时作业共3份打包）.zip

§3　不等式
3.1　不等式的性质
学****目 标
核 心 素 养
1.掌握实数大小的比较方法．(重点)
2．掌握不等式的性质．(重点)
3．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点)
1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养．
1．实数a，b大小的比较
设a，b∈R，则
(1)a>b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0;_(3)a<b⇔a－b＜0.
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
传递性
a＞b，且b＞c⇒a＞c
⇒
可加性
a＞b⇒a＋c＞b＋c
⇒
可乘性
a>b，且c>0⇒ac＞bc
c的符号
a>b，且c<0⇒ac＜bc
加法法则
a>b，且c>d⇒a＋c＞b＋d
⇒
乘法法则
如果a>b>0，c>d>0⇒ac＞bd＞0；如果a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd＜0
⇒
思考：若ab≠0，则a>b⇔<成立吗？
提示：当a，b同号时成立，异号时不成立．
1．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是(　　)
A．a－b>d－c　　 B．a＋d>b＋c
C．a－c>b－c D．a－c<a－d
[答案]　B
2．与a>b等价的不等式是(　　)
A．> B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
D　[可以用赋值法，令a＝－1，b＝－2，可知选项A、B、C错误，故选D.]
3．已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2从小到大排列为________．
a＜ab2＜ab　[因为－1＜b＜0，所以1＞b2＞b，又因为a＜0，所以a＜ab2＜ab.]
4．已知a≠b，试比较a2＋b2与2ab的大小．
[解]　因为a2＋b2－2ab＝，
又a≠b，
所以>0，即a2－ab＋b2－ab>0.
所以a2＋b2>2ab.
作差法比较两实数大小
【例1】　已知－<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝ ，D＝，试比较A，B，C，D的大小．
[思路点拨]　先通过赋值估计A、B、C、D的大小，再用作差比较法比较．
[解]　 注意到－<a<0，不妨取a＝－，
这时A＝，B＝，C＝，D＝，
由此猜测：C>A>B>D.
下面再来证明这个结论：
C－A＝－(1＋a2)＝
＝.
∵1＋a>0，－a>0，＋>0，∴C>A.
∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0，
∴A>B.
B－D＝1－a2－＝
＝.
∵－<a<0，
∴1－a>0，－<－<0，
∴B>D.
综上：C>A>B>D.
1．要比较多个式子的大小，为避免盲目性，可通过赋值估计各式的大小关系，再用作差比较法比较．
2．作差比较法中关键的一步是对差变形，常见的变形有通分、分解、配方等，变形的目的是有利于判断差的符号．
1．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
[解]　∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)
＝x2＋(2m－1)x＋＋2m2＋1－
＝＋m2＋m＋
＝＋＋－
＝＋＋≥>0，
∴x2－x＋1>