高三数学北师大版必修第一册第五章函数应用培优专练3word版含答案.zip

高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练3
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A． B．， C．， D．
4．已知函数，则函数的零点个数是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知定义在上的函数满足，当时，．若函数恰有6个零点，则（ ）
A．或 B．
C． D．
6．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的满足，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，
B．当时
C．若，则k的取值范围为
D．若（其中），则
8．已知定义在上的函数，满足，且，，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ）
A．函数的周期 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．实数的取值范围是
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．记，，，，，若函数的最大值为3，有3个零点，则实数的取值范围是_____.
10．设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则
的最小值为___________.
11．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
12．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.
四、解答题
13．已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明在上单调递增；
（2）设函数，求使函数有唯一零点的实数的值；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
14．已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求a的值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）设关于x的函数有零点，求实数b的取值范围.
15．已知是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且.
（1）求的解析式；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.
16．已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；
（3）已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，，求出实数的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】
根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解.
【详解】
因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根且无实根，
或与各有一个实根，
或无实根且有两个不同的实根，
当时，，函数为增函数，
则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，
当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，
因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，
当，时，，函数，
而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，
因此，方程必有一个实根，
于是得当时，与各有一个实根，
若方程无实根，必有，
此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，
当且仅当，解得，
于是得当时，有两个不同的实根且无实根，
综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
2．C
【分析】
采用等价转换的思想，且利用数形结合的方法，结合对称性，可得结果.
【详解】
由方程都有四个不相等的实根
则函数与，图像
有四个交点，
由
即
如图，
所以
故
又
所以
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的对称性，以及考查等价转换，数形结合的数学技巧的应用，属中档题.
3．B
【分析】
先分析特殊点对的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数，的零点相同，得到关系式，最终求出答案.
【详解】
对任意恒成立，
当时，不等式等价为，即，
当时，，此时，则，
设，，
若，则，
函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；
若，则，而此时时，不满足条件，故；
函数在上，则上，
而在上的零点为，且在上，
则，上，
要使对任意恒成立，
则函数与的零点相同，即，
，