高二数学人教A版选修4-5应用创新演练：第四讲 用数学归纳法证明不等式（2份）.zip

1．用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为(　　)
A．n0＝1　　　　　　　　B．n0＝2
C．n0＝1,2 D．以上答案均不正确
解析：需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．
答案：A
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.
答案：C
3．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
解析：由n＝k到n＝k＋1，应增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k项．
答案：C
4．对于正整数n，下列不等式不正确的是(　　)
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n≤1－0.1n D．0.1n≤1－0.9n
解析：排除法，取n＝2，只有C不成立．
答案：C
5．证明<1＋＋＋…＋<n＋1(n>1)，当n＝2时．要证明的式子为________．
解析：当n＝2时，要证明的式子为
2<1＋＋＋<3.
答案：2<1＋＋＋<3
6．利用数学归纳法证明“(1＋)(1＋)…(1＋)>”时，n的最小取值n0为________．
解析：左边为(n－1)项的乘积，故n0＝2.
答案：2
7．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M、N的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令x＝)．
解析：当n＝1时，M＝a＋b＝N.
当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab<M.
当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b<M.
归纳得M ≥N.
答案：M ≥N
8．用数学归纳法证明，对任意n∈N＋，有
(1＋2＋…＋n)(1＋＋＋…＋)≥n2.
证明：(1)当n＝1时，左边＝右边，不等式成立．
当n＝2时，左边＝(1＋2)(1＋)＝>22，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k)(1＋＋…＋)≥k2.
则当n＝k＋1时，有
左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)][(1＋＋…＋)＋]
＝(1＋2＋…＋k)(1＋＋…＋)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)×(1＋＋…＋)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1)(1＋＋…＋)．
∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*)
∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.
这就是说当n＝k＋1时，不等成立，由(1)、(2)可知当n≥1时，不等式成立．
9．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3….
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
(2)当a≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2；
解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，